Bài 9 trang 17 SGK Hình học 10 | C-n.vn

Đề bài
Cho tam giác đều (ABC) có trọng tâm (O) và (M) là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi (D,E,F) lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ (M) đến (BC, AC, AB). Chứng minh rằng:
(overrightarrow {MD}  + overrightarrow {ME}  + overrightarrow {MF}  = {3 over 2}overrightarrow {MO} )
Video hướng dẫn giải

Lời giải chi tiết

Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giácA1B1 // AB; A2C2 // AC; B2C1 // BC như hình vẽ.Ta có:(begin{array}{l}M{B_1}//AB Rightarrow widehat {M{B_1}{C_2}} = widehat {ABC} = {60^0}\M{C_2}//AC Rightarrow widehat {M{C_2}{B_1}} = widehat {ACB} = {60^0}end{array})Tam giác (M{B_1}{C_2}) có (widehat {M{B_1}{C_2}} = widehat {M{C_2}{B_1}} = {60^0}) nên là tam giác đều.Tương tự các tam giác MA1C1;MA2B2 đều là các tam giác đều.Ta lại có MD B1C2 nên MD cũng là trung tuyến.Do đó D là trung điểm của cạnh B1C2Ta có 2 = + Tương tự: 2 = +                2 = +(begin{array}{l}Rightarrow 2overrightarrow {MD} + 2overrightarrow {ME} + 2overrightarrow {MF} \= left( {overrightarrow {M{B_1}} + overrightarrow {M{C_2}} } right) \+ left( {overrightarrow {M{C_1}} + overrightarrow {M{A_1}} } right) \+ left( {overrightarrow {M{A_2}} + overrightarrow {M{B_2}} } right)end{array})=> 2( ++)= (+)+ ( + )+ (+)Tứ giác (M{A_1}A{A_2}) là hình bình hành nên +  = Tương tự: + =                  + = => 2( ++) = ++Vì O là trọng tâm của tam giác và M là một điểm bất kì nên ++ = 3.Cuối cùng ta có: 2( ++) = 3;=>  ++ = Loigiaihay.com

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Học tập
READ:  Soạn bài Kể chuyện tưởng tượng | C-n.vn