Trung Tuyến Của Tam Giác – Tính Chất Đường Thường, Vuông, Cân, Đều

Định nghĩa đường trung tuyến

– Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.

Đang xem: Trung tuyến của tam giác

Định nghĩa đường trung tuyến của tam giác

– Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện trong hình học phẳng. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.

Đường trung tuyến của tam giác

Theo như hình vẽ trên thì các đoạn thẳng AI, CN, BM sẽ là 3 trung tuyến của tam giác ABC.

Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác

– Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm.

Ví dụ:Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ABC có các trung tuyến AI, BM, CN thì ta sẽ có biểu thức:

*

Định nghĩa đường trung tuyến trong tam giác vuông

– Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau.- Do đó, đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến tam giác.Định lý 1: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.Định lý 2: Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Xem thêm: Tình Yêu Trong Anh Vẫn Luôn Thầm Lặng, Lời Bài Hát

Ví dụ:
Tam giác ABC vuông ở A, độ dài đường trung tuyến AM sẽ bằng MB, MC và bằng 1/2 BCNgược lại nếu AM = 1/2 BC thì tam giác ABC sẽ vuông ở A.Các bài tập tự luyện:Bài 1: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM.a) Chứng minh: AM ⊥ BC;b) Tính độ dài AM.Hướng dẫn giảia. Ta có AM là đường trung tuyến tam giác ABC nên MB = MCMặt khác tam giác ABC là tam giác cân tại ASuy ra AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường caoVậy AM vuông góc với BCb. Ta cóBC = 16cm nên BM = MC = 8cmAB = AC = 17cmXét tam giác AMC vuông tại MÁp dụng định lý Pitago ta có:AC2 = AM2 + MC2 ⇒ 172 = AM2 + 82 ⇒ AM2 = 172 – 82 = 225 ⇒ AM = 15cmBài 2: Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB = GC.Hướng dẫn giảiGọi AD, CE, BF là các đường trung tuyến tam giác ABC hay D, E, F lần lượt là trung điểm cạnh BC, AB, ACTa có AD là đường trung tuyến tam giác ABC nên

*

(1)
CE là đường trung tuyến tam giác ABC nên

*

(2)BF là đường trung tuyến tam giác ABC nên

*

(3)Ta có tam giác BAC đều nên dễ dàng suy ra AD = BF = CE (4)Từ 1, 2, 3, 4 suy ra AG = BG = CGBài 3: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :a) M là trung điểm của CDb) AM =

*

BC.Hướng dẫn giảia. Xét tam giác BDC có AB = AD suy ra AC là đường trung tuyến tam giác BCDMặt khác

*

Suy ra E là trọng tâm tam giác BCDM là giao của BE và CDVậy BM là trung tuyến tam giác BCDVậy M là trung điểm của CDb. A là trung điểm của BDM là trung điểm của DCSuy ra AM là đường trung bình của tam giác BDCSuy ra AM = 1/2 BCBài 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G và K sao cho BG = BM và G là trung điểm của BK. Gọi N là trung điểm của KC , GN cắt CM ở O. Chứng minh:a) O là trọng tâm của tam giác GKC ;b) GO =

*

BCHọc sinh tự giảiBài 5: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 18cm, AC = 24cm. Tính tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác.Hướng dẫn giải
Gọi AD, CE, BF lần lượt là các đường trung tuyến nối từ đỉnh A, C, B của tam giác ABCDễ dàng suy ra AE = EB = 9cm, AF = FC = 12cmTa có tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:BC2 = AB2 + AC2 ⇒ BC2 = 182 + 242 = 900 ⇒ BC = 30cmTa có ABC vuông mà D là trung điểm cạnh huyền nên AD = BD = DC = 15cmSuy ra: AG = 2/3 AD = 10cmXét tam giác AEC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:EC2 = AE2 + AC2 ⇒ EC2 = 92 + 242 = 657 ⇒ EC = 3√73 cm ⇒ CG = 2/3 EC = 2√73 cmTương tự ta xét tam giác AFB vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:BF2 = AB2 + AF2 ⇒BF2 = 182 + 122 = 468 ⇒ BF = 6√13 cm ⇒ BG = 2/3 BF = 4√13 cmTổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác là:AG + BG + CG = 10 + 4√13 + 2√73 (cm)Bài 6: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Biết AM =

*

BC. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông ở A.

Xem thêm: Top 100 Người Đẹp Trai Nhất The Giới 2020 : Sơn Tùng Có Mặt, Tiêu Chiến Đứng Đầu

Học sinh tự giảiBài 7: Cho tam giác ABC. Các đường trung tuyến BD và CE. Chứng minh

*

Hướng dẫn giảiHọc sinh tự vẽ hình.Xét tam giác BGC có:BG + CG > BC⇒

*

Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Kéo dài AG cắt BC tại H.a. So sánh tam giác AHB và tam giác AHC.b. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của GA và GC. Chứng minh rằng AK, BD, CI đồng quy.Hướng dẫn giảia. Ta có BD là đường trung tuyến của tam giác ABCCE là đường trung tuyến của tam giác ABCVậy G là trọng tâm tam giác ABCMà AH đi qua G nên AH là đường trung tuyến của tam giác ABC

*

HB = HCXét hai tam giác AHB và tam giác AHC có:AB = AC (tam giác ABC cân tại A)AH chungHB = HC⇒ ΔAHB = ΔAHC (c – c – c)b. Ta có IA = IG nên CI là đường trung tuyến của tam giác AGC (1)Ta lại có KG = KC nên AK là đường trung tuyến của tam giác AGC (2)DG là đường trung tuyến của tam giác AGC (3)Từ (1), (2), (3) suy ra 3 đường trung tuyến CI, AK, DG đồng quy tại IBài 9: Cho tam giác ABC có AB = AC, gọi K là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng:a. Tam giác BNC và tam giác CMB bằng nhau

Có thể bạn quan tâm